机器学习A-Z~多项式回归

之前的文章中已经学习过多元线性回归,现在来讲讲多项式回归。首先说说多项式线性回归,表达式可以表示为:
y = b_0 + b_1x_1 + b_2x_1^2 + ... + b_nx_1^n
这个表达式和多元线性回归非常像,唯一的区别就是多项式线性回归中存在很多次方项,而多元线性回归中是多个变量。实际上这里可以把多元线性回归中的多个变量理解成多项式中的x_n^2。所谓线性看的是b_0一直到b_n这些参数的一个线性组合,跟自变量是否线性其实没什么关系,因此这种情况依然是线性的。当然也存在非线性的多项式回归,比如这里假设公式是y = b_0/b_2 + b_3x_3,这个时候就不是关于b_0一直到b_n这些参数的线性表达式了。那么什么时候使用多项式回归呢,下面有一个例子:

多项式回归

图像中的点表示数据集,如果用简单或者多元线性回归显然拟合效果不会很好,这个时候就可以使用多项式回归来拟合,这里拟合的图像会变成一条曲线,更加符合当前数据集的实际情况。

多项式回归的代码实现和线性回归很接近,前几个步骤还是一样的,这里首先给出数据集:

Position Level Salary
Business Analyst 1 45000
Junior Consultant 2 50000
Senior Consultant 3 60000
Manager 4 80000
Country Manager 5 110000
Region Manager 6 150000
Partner 7 200000
Senior Partner 8 300000
C-level 9 500000
CEO 10 1000000

这组数据集是某公司各个级别的职位对应的薪资,假设这个时候来了一个新人,我们需要根据这份薪资表来决定要给他多少的薪水。第一步依然是导入数据集,由于这里没有分类的变量,所以不需要进行虚拟编码。再者由于我们需要根据这份数据来决定新人的薪资,因此这份数据其实就是训练集,而新人的资料和薪资才是测试集,这里就不需要再将当前数据集拆分成训练集和测试集。

import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures


data_path = '../data/Position_Salaries.csv'

dataset = pd.read_csv(data_path)
X = dataset.iloc[:, 1:2].values
y = dataset.iloc[:, 2].values

导入数据后我们先进行线性回归的拟合,之后我们会将拟合出的模型和多项式回归的模型进行比对。

# Fitting Linear Regression to the Training set
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X, y)

接下来再进行多项式回归的拟合,这里用的是sklearn.preprocessing中的PolynomialFeatures,这里我们根据数据假设最高此项为2。

# Fitting Ploynomial Regression to the Training set
poly_reg = PolynomialFeatures(degree=2)
X_poly = poly_reg.fit_transform(X)
lin_reg2 = LinearRegression()
lin_reg2.fit(X_poly, y)

然后我们看看两种方式拟合的模型的效果:

# Visualising the Linear Regression results
plt.scatter(X, y, c='r')
plt.plot(X, lin_reg.predict(X), c='b')
plt.title('Truth or Bluff (Linear Regression)')
plt.xlabel('Position Level')
plt.ylabel('Salary')
plt.show()
# Visualising the Polynomial Regression results
plt.scatter(X, y, c='r')
plt.plot(X, lin_reg.predict(X), c='b')
plt.plot(X, lin_reg2.predict(poly_reg.fit_transform(X)), c='b')
plt.title('Truth or Bluff (Polynomial Regression)')
plt.xlabel('Position Level')
plt.ylabel('Salary')
plt.show()

下图分别是线性回归模型和多项式回归模型结果:

线性回归

多项式回归

我们发现多项式回归的确比线性回归更合适一点,但这里的模型和实际数据依然有着不小的差距,那么这里就需要对拟合的方式进行一些调整,把最高次数调整成4试试看,得到结果后发现这次得到的结果更加贴近与实际数据。由于图像中的线看起来是一段段的折线,而不是一个平滑的曲线,这里我们可以对其进行优化一下从而得到一条平滑的曲线。实际上就是让其又更多的间距小的点来画这个曲线,图像和代码如下:

最高次数为4的多项式回归

X_grid = np.arange(min(X), max(X), 0.1)
X_grid = X_grid.reshape(len(X_grid), 1)
plt.scatter(X, y, c='r')
plt.plot(X_grid, lin_reg2.predict(poly_reg.fit_transform(X_grid)), c='b')
plt.title('Truth or Bluff (Polynomial Regression)')
plt.xlabel('Position Level')
plt.ylabel('Salary')
plt.show()

接下来,我们要利用拟合好的模型来预测新人应当匹配的薪水,这里也分别用线性回归和多项式回归模型来预测。假设新人在6-7等级之间,设置其等级为6.5.

# Predicting a new result with Linear Regression
lin_reg.predict(6.5)

# Predicting a new result with Polynomial Regression
lin_reg2.predict(poly_reg.fit_transform(6.5))

得到的结果分别为:330378.78787879和158862.45265153,很明显后者更符合实际情况,因此这里多项式回归模型时更好的选择。

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